BSM 期权定价模型用几何布朗运动（GBM）刻画标的资产的价格变化，其噪声项 $W$ 是维纳过程，事实上没有体现市场的长尾特性 ，看起来 BSM 只是一个理想模型。
$$dS = \mu S dt + \sigma S dW
$$
在金融实践中，我们往往直接将期权的价格代入 BSM，反向求解出波动率。对不同的期限 $T$ 和行权价 $K$，我们都可以求得一个波动率，称之为隐含波动率（Implied Volatility, IV）。对于市场上所有合约，隐含波动率构成一张曲面 $\sigma(K, T)$。
$$C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)
$$
$$d_1 = \frac{\ln \frac{S_0}{K} + \left( r + \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}}
$$
$$d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}
$$
因为噪声的影响，将原始价格数据中反求的 IV 直接插值为曲面不是一个好主意。我们不妨先把来自不同合约的 $(\sigma_i, K_i, T_i)$ 视作零散的数据点，从最大后验概率估计（MAP）的视角下理解这个问题：波动率曲面应该是某种意义上的平均或者说平滑，同时满足一些约束条件。金融直觉告诉我们，约束中理所应当要包括无套利条件。其次，我还希望曲面是光滑的。有了这些约束条件，我们就可以把数据点代进来，解一个优化问题，最后得到一张波动率曲面（Volatility Surface），它是一切期权交易者的生命。
现在我们思考一个本质问题，固定波动率的 BSM 显然无法捕捉市场的长尾特性，这个“硬算”的波动率曲面来自 BSM，却又不符合 BSM 的基本假设，那么它到底是什么？它捕捉到了什么超越 BSM 的信息？
想想看，我们从一个“错误”的模型中，再做一次“错误”的处理，最后得到了某个看起来或许是某种平均的“可观测量”，我们希望依赖这个似是而非的可观测量洞察到“真实”的市场现象，这可能吗？
为了回答这些问题，我们把目光投向一些超越 BSM 的模型，例如 Merton（这位是 BSM 中的 M，是的，还是他）的扩散跳跃模型。既然维纳过程没法建模长尾，那我们干脆加入一个随机的泊松跳跃。接着，我们可以推导出一个修正后的伊藤公式，得到扩散跳跃模型下的微分方程，最后得到定价公式。最妙的事情来了，Merton 模型的定价可以看作若干 BSM 定价的加权和！
理一理，Merton 跳跃扩散模型的表达能力确实比 BSM 强，但似乎并没有强很多，长尾不是什么天堑，我们甚至可以简单地利用 BSM 的线性组合来建模市场的长尾特征！沿着这个思路提出问题，BSM 要加上哪些额外的信息，才能获得与 Merton 跳跃扩散模型同等的表达能力？当然就是加权和的权重。
写到这里也许有读者已经看明白了，事实上波动率曲面就提供了这些额外的信息，它把短时程的跳跃平均成长时程的扩散，得到了一个“有效波动率（Effective Volatility）”。
我似乎已经回答了波动率曲面是什么的问题，但还没有解释为什么这种“错两次”的方法可行。
高能物理中早就出现过类似的事情，也就是“错两次”：有一个低能标（大尺度）的模型，要求得系统的某些性质，我们必须遍历所有的尺度求和，然而直接求和的时候，致命的问题出现了——这个代表系统某些性质的物理量居然会发散！聪明或者说绝望的物理学家们又发现，如果我们不遍历所有的尺度，而是在求和中截掉那些模型并没有覆盖到的尺度，同时调整模型的某些参数，最终奇迹般地得到一个正确的结果。
简单地说，低能标的模型并没有关于高能标细节的知识，这是第一个“错误”，截断到一个特定的尺度更没有道理，这是第二个”错误“，两个错误加起来却得到了正确的结果。
后来的物理学家用重整化群理论描述了这个惊人的现象，物理学家们认识到，场论永远都是一种有效理论（Effective Theory）。在一个具体的有效理论下，一方面，我们永远无法知道高能标的细节，无法对高能标下的现象做出任何预言，但另一方面，也是最激动人心的地方，我们并不是什么都不能做！有效理论允许我们把高能标的细节——那些我们并不知晓的细节——平均到低能标的某些参数下，然后做出当前能标下有效的预言。
回到 BSM 和 Merton 扩散跳跃模型，波动率曲面可以视作一组“被重整”的参数，它反映了小尺度的扩散跳跃过程在大尺度上的平均作用，有效理论的又一次胜利，为之欢呼吧！
不想写了，就这么结束，感觉要说的点都提到了。